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圆周角和孙维刚
日期:2014/9/23 13:43:16 作者:倦飞的云 阅读次数:1847

 

上周刚听了人教版义务教育数学九年级下册“圆周角”部分的内容,教材和老师都把圆周角分为三类加以讨论:一是圆心在角的一边上的圆周角,二是圆心在角的内部的圆心角,三是圆心在角的外部的圆心角。然后逐一加以讨论并展开证明。我突然想到一个问题:如果是孙维刚老师健在,他应该如何教这部分内容呢?
首先,在概念的教学上,孙老师一定会从圆心角的概念出发,引导学生找出圆周角与圆心角的异同:前者顶点在圆周上,后者顶点在圆心上;但二者都是两边与圆相交的角。孙老师可能还会通过移动、变形,引出“顶点在圆内(非圆心)”和“顶点在圆外”的角,引出顶点在圆周上,只有一边和圆相交的角。当然,这样一来,看起来已经超课标超教材了,但这样的教学可以帮助孩子发现知识之间的联系,从而更好地把握知识的规律。
其次,在“圆周角等于同弧所对的圆心角度数的一半”时,在讨论了“圆心在角的一边上”或者说“圆周角的一边是直径”这种特殊情况的证明之后,会引导学生通过移动变形得到其余两种情况,并且,在证明的方法上,会引导学生发现情形二其实是情形一的叠加,无非就是通过作一条辅助线将一个圆周角分成了两个圆心在一边上的圆周角,这就实现了从情形二向情形一的化归。在情形三的讨论中,我们可以将之视为移到一或者二的一边而得到的图形,这就不难理解,情形三其实可以向情形二化归,并最终实现向情形一的化归。我们还可以将情形三视为情形二沿直径翻折的结果。这样一来,这三个情况的讨论,在方法上就实现了“一体化”——它们的证明方法其实是相同的。
但我想,孙老师的教学肯定不会止于此,而会进一步讨论顶点在圆内(非圆心)的角和顶点在圆外的角的度数的讨论进行到底,这看起来似乎是超出了现在的教学进度和范围,但它们却能够帮助学生很好地理解我们的思维是如何从特殊到一般,如何从简单到复杂,如何从静止到运动的。与此同时,这样的教学,将“化归”的思想贯彻到了始终,无论多么复杂的问题,其实都可以化归为一个个简单的问题。而一个个复杂的问题,其实正是简单问题想到关联与组合而形成的。就如我们可以将圆周角与圆心角联系起来,将情形二和情形三与情形一联系起来,将顶点在圆内(非圆心)和顶点在圆外的角与圆周角联系起来。但它们始终是一体的,是相互联系的,当我们把它们联系起来教的时候,我们就不难发现其中的共通的规律了。当然,孙老师是既教初中也教高中的,但我们只要不把所补充的东西当作了一种必须掌握的知识,而是把它作为学生探索和研究的材料,这对于学生今后的学习,肯定是大有裨益的。
化归的思想,从特殊到一般、从简单到复杂的思想,分类讨论的思想在这里都得到了很好的体现,这算不算是“站在哲学的高度教数学”呢?
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